Xixar, yo te recomendaría que empezaras por Death Note. No es mi serie favorita de anime, pero creo que para iniciarse con la animación japonesa es perfecta porque es adulta y es bastante universal (hay muchas series japonesas que son "muy japonesas" y a los que nos gusta el anime no nos importa, pero para los que no están muy familiarizados les puede resultar demasiado extraño e inaccesible).

Evangelion me parece muy buena, pero corres el riesgo de que la odies profundamente y si empiezas con ella no vuelvas a ver un anime en tu vida Aunque también puede ser, no te digo que no, que te encandile.

Otra muy recomendable para empezar, aunque ya te la han comentado, es Paranoia Agent. Puede que te duela la cabeza cuando la veas pero es un caos magníficamente hecho. Son 13 episodios tan solo.

Si te apeteciera irte por los clásicos yo te recomendaría encarecidamente Conan, el niño del futuro (1978) de Hayao Miyazaki (El Viaje de Chihiro, El castillo ambulante, Ponyo, etc.) para mi la mejor serie clásica con diferencia, con un argumento muy interesante de ciencia-ficción.

Otras que a mi me parecen interesantes para recomendar son Nana (sobre veinteañeros sin demasiadas ñoñerías), Black Lagoon (de acción, con bastante violencia pero muy buena), Noir (también de acción)...

Si me acuerdo de alguna más que merezca la pena y se ajuste a tus necesidades, ya lo comentaré (escribo esto a las 3:15 de la madrugada de un sábado, no estoy muy lúcida ).