me imagino que en la primera ecuación que pones el -1 está también dentro del elevado.
si no me equivoco pq hace ya muchos años que dejé los estudios:

e^ (ln (e^x+1) - 1) es igual a:

e^ (ln (e^x+1) - ln e) es igual a:

e^ (ln ((e^x+1) / e)) es igual a: [ ya que e^ ln f(x) = f(x) ]

(e^x+1) / e